Como calcular o MDC e o MMC de forma simples?
MDC e MMC aparecem em frações, problemas de divisão, contas com horários e até organização de grupos. A boa notícia é que os dois seguem uma lógica simples. Quando você entende o que cada um procura, o cálculo deixa de parecer uma sequência de regras decoradas.
Neste guia, você vai aprender como calcular o MDC e o MMC por fatoração, com exemplos passo a passo, e também verá um método rápido para encontrar o MDC.
Entenda o que MDC e MMC significam
Antes de calcular, vale separar bem as ideias.
MDC é o maior divisor comum
O MDC, ou máximo divisor comum, é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto.
Exemplo com 12 e 18:
Divisores de 12:
1
2
3
4
6
12
Divisores de 18:
1
2
3
6
9
18
Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6. O maior deles é 6.
Então:
`MDC(12, 18) = 6`
O MDC ajuda quando a ideia é dividir em partes iguais ou simplificar frações.
MMC é o menor múltiplo comum
O MMC, ou mínimo múltiplo comum, é o menor número positivo que aparece na tabuada de dois ou mais números.
Exemplo com 4 e 6:
Múltiplos de 4:
4
8
12
16
20
Múltiplos de 6:
6
12
18
24
O menor múltiplo comum é 12.
Então:
`MMC(4, 6) = 12`
O MMC aparece muito em soma e subtração de frações com denominadores diferentes, além de problemas de ciclos e horários.
Calcule MDC e MMC pela fatoração
A fatoração é um dos métodos mais usados porque serve para os dois cálculos. A ideia é decompor os números em fatores primos.
Vamos usar o exemplo:
`24` e `36`
1. Escreva os números que serão analisados
Coloque os números lado a lado:
`24` e `36`
O objetivo é descobrir quais fatores primos formam cada um.
2. Fatore cada número em números primos
Comece dividindo pelos menores números primos possíveis: 2, 3, 5, 7 e assim por diante.
Para 24:
`24 = 2 × 2 × 2 × 3`
Também podemos escrever assim:
`24 = 2³ × 3`
Para 36:
`36 = 2 × 2 × 3 × 3`
Ou:
`36 = 2² × 3²`
Agora fica mais fácil comparar.
3. Escolha os fatores comuns para achar o MDC
Para calcular o MDC, use apenas os fatores que aparecem nos dois números, sempre com o menor expoente.
Veja:
Em 24, o fator 2 aparece como `2³`
Em 36, o fator 2 aparece como `2²`
Escolha `2²`.
Agora o fator 3:
Em 24, o fator 3 aparece como `3¹`
Em 36, o fator 3 aparece como `3²`
Escolha `3¹`.
Então:
`MDC(24, 36) = 2² × 3`
`MDC(24, 36) = 4 × 3`
`MDC(24, 36) = 12`
Logo, o maior número que divide 24 e 36 ao mesmo tempo é 12.
4. Escolha todos os fatores para achar o MMC
Para calcular o MMC, use todos os fatores que aparecem, sempre com o maior expoente.
Veja:
O maior expoente do 2 é `2³`
O maior expoente do 3 é `3²`
Então:
`MMC(24, 36) = 2³ × 3²`
`MMC(24, 36) = 8 × 9`
`MMC(24, 36) = 72`
Logo, o menor múltiplo comum entre 24 e 36 é 72.
Regra prática: no MDC, pegue o que é comum com menor expoente. No MMC, pegue tudo com maior expoente.
Use uma tabela quando quiser organizar melhor
Também dá para fatorar em forma de tabela. Vamos calcular o MMC de 8, 12 e 18.
Divisão | 8 | 12 | 18 |
2 | 4 | 6 | 9 |
2 | 2 | 3 | 9 |
2 | 1 | 3 | 9 |
3 | 1 | 1 | 3 |
3 | 1 | 1 | 1 |
Agora multiplique os fatores usados na primeira coluna:
`2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72`
Então:
`MMC(8, 12, 18) = 72`
Esse método é muito útil quando há três ou mais números.
Para o MDC, a tabela só usa divisões que servem para todos os números ao mesmo tempo. Se algum número não for divisível, aquele fator não entra no MDC.
Calcule o MDC pelo método de Euclides
O método de Euclides é ótimo quando os números são maiores. Ele usa divisões sucessivas.
Vamos calcular:
`MDC(48, 18)`
1. Divida o maior número pelo menor
`48 ÷ 18 = 2`, com resto `12`
2. Troque o divisor pelo resto
Agora use 18 e 12:
`18 ÷ 12 = 1`, com resto `6`
3. Repita a divisão até o resto ser zero
Agora use 12 e 6:
`12 ÷ 6 = 2`, com resto `0`
4. Pegue o último resto diferente de zero
O último resto diferente de zero foi 6.
Então:
`MDC(48, 18) = 6`
Esse método não calcula o MMC diretamente, mas existe uma relação útil entre os dois quando há apenas dois números:
`MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b`
Por exemplo, para 48 e 18:
`6 × MMC = 48 × 18`
`6 × MMC = 864`
`MMC = 144`
Logo:
`MMC(48, 18) = 144`
Aplique em situações do dia a dia
O MDC aparece quando você precisa formar grupos iguais.
Imagine que há 30 balas e 45 chocolates. Você quer montar o maior número possível de kits iguais, sem sobrar nada. Basta calcular:
`MDC(30, 45) = 15`
Você pode montar 15 kits, cada um com 2 balas e 3 chocolates.
O MMC aparece quando eventos se repetem.
Imagine que um alarme toca a cada 6 minutos e outro a cada 8 minutos. Se tocaram juntos agora, quando tocarão juntos de novo?
`MMC(6, 8) = 24`
Eles tocarão juntos novamente em 24 minutos.
Evite os erros mais comuns
Alguns deslizes aparecem com frequência. Veja como escapar deles:
Confundir divisor com múltiplo Divisor divide o número. Múltiplo aparece na tabuada.
Usar maior expoente no MDC No MDC, use o menor expoente dos fatores comuns.
Esquecer fatores que aparecem em apenas um número no MMC No MMC, todos os fatores entram.
Parar a fatoração cedo demais Continue até chegar a 1.
Ignorar o significado do problema Se a pergunta fala em dividir igualmente, pense em MDC. Se fala em repetição ou encontro de ciclos, pense em MMC.
Confira se o resultado faz sentido
Depois de calcular, faça uma checagem rápida.
Para o MDC:
O resultado deve dividir todos os números.
Nenhum divisor comum pode ser maior que ele.
Para o MMC:
O resultado deve ser múltiplo de todos os números.
Nenhum múltiplo comum positivo pode ser menor que ele.
Se você encontrou `MDC(24, 36) = 12`, confira:
`24 ÷ 12 = 2`
`36 ÷ 12 = 3`
Funcionou.
Se encontrou `MMC(24, 36) = 72`, confira:
`72 ÷ 24 = 3`
`72 ÷ 36 = 2`
Também funcionou.
Calcular MDC e MMC fica simples quando a dúvida principal desaparece. MDC procura o maior divisor comum. MMC procura o menor múltiplo comum. A partir daí, a fatoração organiza os números e mostra exatamente quais fatores usar. Para praticar, escolha dois números simples, como 16 e 20, fatore os dois e calcule primeiro o MDC, depois o MMC.
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