Dominando Análise Combinatória: Simulado de Matemática com 20 Questões da ESA
- Felippe Araujo Pantaleão
- 21 de jun.
- 5 min de leitura
Atualizado: 22 de jun.
A análise combinatória é uma área fundamental da matemática que ajuda a resolver problemas envolvendo contagem, arranjos e combinações. Para quem está se preparando para a ESA (Escola de Sargentos das Armas), dominar esses conceitos é essencial, pois as provas costumam cobrar bastante essa disciplina. Este post traz um simulado com 20 questões focadas em análise combinatória, além de dicas para entender e resolver cada tipo de problema com segurança.
Por que a análise combinatória é importante para a ESA
A ESA exige dos candidatos raciocínio rápido e precisão na resolução de problemas matemáticos. A análise combinatória aparece em diversas questões porque permite calcular o número de possibilidades em situações práticas, como:
Quantas senhas diferentes podem ser formadas com certos caracteres
De quantas formas é possível organizar pessoas em filas ou grupos
Quantas combinações de itens podem ser escolhidas de um conjunto maior
Ter domínio sobre esses conceitos ajuda a economizar tempo e evitar erros, aumentando as chances de uma boa nota.
Principais conceitos para o simulado
Antes de resolver as questões, é importante revisar os conceitos básicos que serão cobrados:
Permutação
Permutação é o número de maneiras diferentes de ordenar um conjunto de elementos. Quando todos os elementos são distintos, a fórmula é:
P(n) = n!
Se houver elementos repetidos, a fórmula se ajusta para:
P(n; n1, n2, ..., nk) = n! / (n1! × n2! × ... × nk!)
Combinação
Combinação é o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto, sem se importar com a ordem. A fórmula é:
C(n, p) = n! / (p! × (n-p)!)
Arranjo
Arranjo considera a ordem dos elementos escolhidos. A fórmula é:
A(n, p) = n! / (n-p)!
Esses três conceitos são a base para resolver a maioria das questões de análise combinatória.
Simulado com 20 questões da ESA
Aqui estão 20 questões para praticar. Elas abrangem permutação, combinação e arranjo, com níveis variados de dificuldade.
Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra "ARMAS"?
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
Solução
De quantas formas 5 soldados podem ser organizados em fila?
A) 60
B) 120
C) 220
D) 300
Solução
5 soldados podem ser organizados em fila de 120 formas diferentes.
Esse total é calculado usando o conceito matemático de permutação simples, onde multiplicamos as possibilidades de escolha para cada posição na fila
(5x4x3x2x1 = 120), o que também pode ser escrito como 5! (cinco fatorial).
Quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas usando os números de 0 a 9, sem repetir dígitos?
A) 10000
B) 4536
C) 5040
D) 3957
Solução
Podem ser formadas exatamente 5.040 senhas distintas de 4 dígitos respeitando a condição de não repetir os algarismos de 0 a 9
Basta fazer 10x9x8x7 = 5040.
De quantas maneiras é possível escolher 3 soldados de um grupo de 10 para uma missão?
A)
B)
C)
D)
Solução
Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?
A) 50
B) 60
C) 70
D) 80
Solução
Podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, calculamos as possibilidades para cada posição (Centena, Dezena e Unidade):
Centena: 5 opções disponíveis (1, 2, 3, 4 ou 5).
Dezena: 4 opções disponíveis (pois não pode repetir o algarismo usado na centena).
Unidade: 3 opções disponíveis (pois não pode repetir os usados anteriormente).
Multiplicando as opções:
(5x4x3 = 60)
Quantas combinações de 2 armas podem ser feitas a partir de 6 disponíveis?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
Solução:
De quantas formas 4 livros diferentes podem ser organizados em uma prateleira?
A) 21
B) 22
C) 23
D) 24
Solução
4 livros diferentes podem ser organizados de 24 maneiras distintas.
Esse valor é calculado usando uma permutação simples, onde multiplicamos as opções disponíveis para cada espaço da prateleira:
4 opções para o 1º livro
3 opções para o 2º livro
2 opções para o 3º livro
1 opção para o 4º livro
A conta é feita multiplicando esses números:
4x3x2x1 = 24
Quantas senhas de 3 letras podem ser formadas com as letras A, B, C, D, sem repetição?
A) 24
B) 23
C) 22
D) 21
Solução
Para o primeiro caractere da senha, existem 4 opções disponíveis (A, B, C ou D). Como não pode haver repetição, restam 3 opções para o segundo caractere. Por fim, sobram 2 opções para o terceiro caractere. Multiplicamos essas possibilidades:
(4x3x2x1=24)
Quantas equipes de 5 soldados podem ser formadas a partir de 12 candidatos?
A)
B)
C)
D)
10. Quantas palavras de 5 letras podem ser formadas com as letras da palavra "SARGENTO", considerando letras repetidas?
A) 32768
B) 23768
C) 72368
D) 87632
Solução
1. Contar as letras disponíveis
A palavra "SARGENTO" possui 8 letras distintas: S, A, R, G, E, N, T e O.
2. Aplicar o Princípio Fundamental da Contagem
Como queremos formar palavras de 5 letras e a repetição é permitida, temos 8 opções de escolha para cada uma das 5 posições da palavra:
1ª posição: 8 possibilidades
2ª posição: 8 possibilidades
3ª posição: 8 possibilidades
4ª posição: 8 possibilidades
5ª posição: 8 possibilidades
3. Calcular o resultado final
Multiplicamos as possibilidades de cada posição: [1]
8x8x8x8x8 = 32768
11. Quantos números pares de 4 dígitos podem ser formados com os dígitos 0 a 9, sem repetição?
A)
B)
C)
D)
12. De quantas formas 3 soldados podem ser escolhidos para posições diferentes em uma equipe?
A)
B)
C)
D)
13. Quantas combinações de 4 itens podem ser feitas a partir de 8 disponíveis?
A)
B)
C)
D)
14. Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra "COMBINAÇÃO"?
A)
B)
C)
D)
15. Quantos números de 2 algarismos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, sem repetição?
A)
B)
C)
D)
16. De quantas maneiras 6 soldados podem ser organizados em círculo?
A)
B)
C)
D)
17. Quantas senhas de 5 caracteres podem ser formadas com letras e números, sem repetição?
A)
B)
C)
D)
18. Quantas equipes de 3 soldados podem ser formadas a partir de 7 candidatos?
A)
B)
C)
D)
19. Quantas palavras de 4 letras podem ser formadas com as letras da palavra "MATEMÁTICA"?
A)
B)
C)
D)
20. Quantos números ímpares de 3 dígitos podem ser formados com os dígitos 1 a 9, sem repetição?
A)
B)
C)
D)
Gabarito em breve.
Dicas para resolver as questões do simulado
Para garantir um bom desempenho, siga estas orientações:
Leia cada questão com atenção para identificar se a ordem importa (arranjo) ou não (combinação).
Verifique se há elementos repetidos e ajuste a fórmula da permutação quando necessário.
Use o princípio multiplicativo para problemas que envolvem etapas diferentes.
Pratique o cálculo de fatorial para ganhar agilidade.
Faça rascunho para organizar as ideias e evitar confusão.
Exemplos práticos de resolução
Vamos resolver duas questões para ilustrar o processo.
Questão 1: Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra "ARMAS"?
A palavra tem 5 letras, com a letra "A" repetida 2 vezes.
Usamos permutação com repetição:
P = 5! / 2! = 120 / 2 = 60 palavras diferentes.
Questão 4: De quantas maneiras é possível escolher 3 soldados de um grupo de 10 para uma missão?
Aqui a ordem não importa, então usamos combinação:
C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 maneiras.
Preparação para a prova da ESA
Além de praticar com simulados, é importante:
Revisar as fórmulas básicas e entender quando usar cada uma.
Resolver questões anteriores da ESA para se familiarizar com o estilo da prova.
Controlar o tempo para conseguir responder todas as questões.
Revisar os erros para não repeti-los.
A análise combinatória pode parecer complexa no início, mas com prática e atenção aos detalhes, você vai ganhar confiança para resolver qualquer questão da ESA.
Este simulado com 20 questões é um ótimo ponto de partida para testar seus conhecimentos e identificar pontos que precisam de reforço. Use-o para medir seu progresso e ajustar seus estudos.
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